应，乔源再次开口道：“我提示一下，数学上指数必须为整数，但大家应该都知道，我最近被要求参与了一个物理项目。而在物理中某些系统会呈现出有效分数指数。比如分数量子霍尔效应，大家觉得这说明了什么？”乔源循循善诱道。

“重新定义指数？”这次下有人回答了，只是语气明显不太确定。

乔源微笑，这次抢答的是英才班的陈曦，一个挺秀气的男生，也是另一个拓扑满分选手。

“陈曦，你上讲我们来一起讨论。”

坐在第一排的男生，立刻站了起来，走到了乔源身边。

乔源拿起了粉笔，一边开始书写推导，一边说道：“重新定义指数并不准确，应该说当底空间拓扑非平凡时，我们可以用纤维丛语言重新审视指数的定义。我举个例子，当n1()=z3时，如果我们取其万有覆盖，当然~是单连通的，去覆盖映射p:~→是3重正则覆盖……那么在w~上构造g-不变向量场v"，设v~在p~i处指数均1。因覆盖映射局部是微分同胚，所以上诱导场v在p点的局部指数仍为整数1。”画完了示意图后，乔源转过身，先是看了眼身边的陈喽，随后又在教室里其他人脸上扫了一圈后，才继续提问。“毫无疑问这在数学上绝无例外。那么问题来了，物理观测的有效分数指数从何而来？陈曦，用第一感觉回答。其他人如果想到也可以上讲来畅所欲言，记住第一感觉！”

陈曦迟疑地回答道：“嗯，我觉得考虑全局拓扑？”

乔源收回目光盯着，陈曦，追问道：“为什么？不用紧张，这本就是思考题。不用管对错，想到什么就说什么。”“恩……就是，那个，嗯，我觉得这里的分数并不是说指数改变了，就是，嗯，是观测尺度跟覆盖度的比值？”前面还有些磕绊，不过看到乔源鼓励的眼神，陈曦干脆放开了。

擡手指了指乔源画的示意图，说道：“如果我们干脆把这三个整数奇点压到一个物理点上，有效值就是三分之一了。”乔源笑了，点了点头，说道：“陈曦判断的没错，数学上我一般将之称为投影诱导的有效拓扑荷，也就是……”说着乔源又写了一堆的板书。

“陈曦的思考非常正确，准确的说我们没有重新定义指数，只是用纤维丛语言拓展了物理上可观测量的数学框架。我也希望大家在这堂课后仔细思考这道题，甚至可以做一些相关的研究。虽然这不会对提升你们期末成绩有任何帮助。但到了你们毕业后，开始做研究的时候，就会发现拥有能够拓展视角边界的数学思想有多重要。”说完，乔源还没忘记跟身边的学生，开句玩笑：“最后我也要恭喜我们的陈曦同学，参与了一次可能让物理学院一批博士生延毕的数学研究。”说完，乔源便在众人恍惚的眼神中直接宣布下课，并在同学们还没反应过来时，直接大踏步的离开了课堂……每周都要跟这些学生斗智斗勇，今天终于赢了一次。

毕竟这些学生反应过来，直接围上来提问，最起码又要硬控他一个小时。

倒不是不想跟这些学生多讲几道题，主要是这种课后提问的方式乔源觉得效率太低了。

而且围拢的学生很多，每个学生说不了几句，尤其是针对拓扑问题而言，那么点时间很难把一个问题给讲透，乔源觉得效果其实并不好。对他

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